A sötétség ölelésében egyedülálló táncos lépdel, mintha a csillagok fénye vezérelné. Minden mozdulata titokzatos, mint a hold árnyéka, és a szívverése ritmusra talál a csend mélyén. A lábai alatt a föld szinte életre kel, ahogy a sötétben lebegve mesél a

Bizonyára sokan ismerik azt a klasszikus rejtvényt, amelyben egy fiók mélyén 10 pár fehér és 10 pár fekete zokni hever össze-vissza, párosítatlanul – ami valljuk be, nem igazán hétköznapi helyzet. A kérdés pedig az, hogy hány zoknit kell kihúznunk a fiókból, hogy biztosan találjunk közöttük egy egyszínű párt. A történet főszereplője valószínűleg egy mezítlábas, aki látássérült, vagy esetleg a gyerekei szobájában keresgél, ahol nem szeretné felébreszteni őket, így sötétben tapogatózik a zoknik között. Így már érthető, hogy miért néznek ki ilyen rendezetlenül a zoknik!

Vigyázat, a feladat nem összetévesztendő azzal, amikor zoknik helyett cipőkről van szó! Miért is? Hát azért, mert a zokniknál elég, ha két egymáshoz passzoló színt találunk, amihez elég három zoknit kivenni, abban már biztosan lesz két egyforma szín. A cipők esetében viszont nehezítő körülmény, hogy a cipők fele bal lábra, másik fele jobb lábra való, ilyen módon akár 20 cipőt is kivehetünk úgy, hogy nincs közöttük pár, például 10 fehér bal lábra valót, és 10 fekete jobb lábra valót. Na de mi van akkor, ha nem azt kérdezzük, hogy mennyit kell kivenni, hogy biztosan legyen pár, hanem arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy lesz pár, ha adott mennyiséget kiveszünk. Ha például kiveszünk 21 darab cipőt, akkor már 100%, hogy lesz közöttük egyszínű pár. Mi a helyzet, ha kevesebbet veszünk ki? Erről szól az alábbi feladvány.

A feladat lényege, hogy kiszámoljuk annak a valószínűségét, hogy a balett-táncos által felnyalábolt 10 fél pár cipő között legalább egy fehér vagy egy fekete pár is megtalálható. Először is nézzük meg, hány különböző cipőt választott a táncos. Mivel 10 fehér és 10 fekete cipő van, összesen 20 fél pár cipő elérhető. A kérdés megfordításával kezdhetjük a számítást: először számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy a táncos csak fekete cipőket (vagy csak fehér cipőket) választ, és ezt vonjuk le 1-ből. 1. **Csak fekete cipők esetén**: Ha a táncos csak fekete cipőket választ, akkor 10 fekete cipőt kell felvennie, ami azt jelenti, hogy 10 fél pár fekete cipőt választott ki. A valószínűsége, hogy 10 fekete fél pár cipőt vesz fel, a következő: - A kombinációk száma a fekete cipők közül: \( \binom{10}{10} = 1 \) - A teljes kombinációk száma a 20 cipő közül: \( \binom{20}{10} \) Tehát a 10 fekete cipő kiválasztásának valószínűsége: \[ P(\text{csak fekete}) = \frac{\binom{10}{10}}{\binom{20}{10}} = \frac{1}{184756} \] 2. **Csak fehér cipők esetén**: Hasonlóan számolhatjuk ki a fehér cipők esetét. A számítás ugyanaz, hiszen 10 fehér cipőt kellene választani: \[ P(\text{csak fehér}) = \frac{\binom{10}{10}}{\binom{20}{10}} = \frac{1}{184756} \] 3. **Összesen**: Mivel a két eset (csak fekete és csak fehér) kizárja egymást, a valószínűség, hogy a táncos csak fekete vagy csak fehér cipőt választ, az alábbi: \[ P(\text{csak fekete vagy csak fehér}) = P(\text{csak fekete}) + P(\text{csak fehér}) = \frac{1}{184756} + \frac{1}{184756} = \frac{2}{184756} \] 4. **Végső lépés**: A keresett valószínűség, hogy legalább egy fehér vagy egy fekete pár található, az 1-ből kivonva az előző eredményt: \[ P(\text{legalább egy pár}) = 1 - P(\text{csak fekete vagy csak fehér}) = 1 - \frac{2}{184756} \approx 1 - 0.0000108 \approx 0.9999892 \] Tehát a balett-táncosnak szinte biztos, hogy legalább egy fehér vagy egy fekete pár cipője lesz a felnyalábolt 10 fél pár között.